Mini-cours Sur Les Polynômes À Une Variable

I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Racines et factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Racines multiples et polynôme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 Cas des polynômes à petit degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III Polynômes symétriques élémentaires 11 1 Relations de Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IV Nombres complexes et théorème de d’Alembert-Gauss 13 1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Interlude : un peu de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Théorème de d’Alembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 V Arithmétique de K[X] 15 1 Théorème de Bézout dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Polynômes irréductibles de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Polynômes irréductibles à coefficients entiers ou rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VI Quelques exercices 19 VII Quelques motivations 21 VIIIDistinction entre polynôme et fonction polynomiale 23 IX Éléménts de réponse aux exercices 25